Die Bedeutung der Unsicherheitsquantifizierung bei EM-Simulationen

Von Apoorva Pedgaonkar und Gregory Moss, Remcom

Die meisten elektromagnetischen (EM) Simulationen folgen einem bekannten Muster: Ingenieure geben einen festen Satz von Materialeigenschaften, Geometrien und Quellenbedingungen in ein Tool ein und erhalten ein einziges, deterministisches Ergebnis. Doch Konstruktionsentscheidungen, Konformitätsprüfungen und/oder Fertigungstoleranzen, die auf einer einzigen deterministischen Simulation basieren, beruhen auf der impliziten Annahme, dass das tatsächliche Verhalten dem Modell entspricht – was sich jedoch oft als falsch erweist.

Die Unsicherheitsquantifizierung (UQ) schätzt und misst mathematisch die Zuverlässigkeit von Berechnungsmodellen und Vorhersagen für die reale Welt und wandelt dabei einen deterministischen Wert in einen realistischen Bereich von Ergebnissen mit entsprechenden Konfidenzgraden um. Auf diese Weise liefert die UQ fundierte Informationen, die für risikobewusste Entscheidungen unerlässlich sind, und wird damit zu einem zunehmend wertvollen Werkzeug, das vielfältige Möglichkeiten zur Verbesserung der Geschwindigkeit, Präzision und Vorhersagegenauigkeit von EM-Simulationen in der Praxis bietet. Allerdings ist die UQ in kommerziellen EM-Simulationssoftware-Tools nur selten verfügbar.

Das Bild veranschaulicht die überlagerte Feldverteilung, die durch die Kombination mehrerer deterministischer Felder berechnet wurde. Der verschwommene Bereich im Kopf verdeutlicht, wie interne Materialunsicherheiten den gesamten Feldverlauf verwischen und beeinflussen.

Warum UQ notwendig ist und wie es funktioniert

Der erste Schritt bei der UQ besteht darin, festzustellen, ob ein Szenario dies erfordert. Eine typische EM-Simulation kann überall dort nützlich sein, wo ein einzelnes Ergebnis zum Nennwert benötigt wird, um eine Pass/Fail- oder Go/No-Go-Entscheidung zu treffen, eine Auslegungsreserve zu begründen, die Konformität oder das Risiko zu quantifizieren oder eine Fertigungstoleranz festzulegen. In solchen Fällen ist es jedoch oft entscheidender, die potenziellen Abweichungen um ein Nennwert-Ergebnis herum zu kennen, als das Nennwert-Ergebnis selbst. Je mehr Daten über Materialien oder Bauteile bereits vor der Simulation zur Verfügung stehen, desto mehr Vertrauen kann der Anwender in die Simulationsergebnisse setzen.

Der entscheidende Vorteil von UQ ist ein tieferer Einblick in verschiedene Anwendungsszenarien für das zu entwerfende Produkt. Bei jedem EM-Simulationsproblem ist ein Ergebnis wie „Die Antwort lautet A, +/- eine gewisse Abweichung B“ immer aussagekräftiger als „Die Antwort lautet A“. Die zusätzlichen Daten und der Kontext können Ingenieuren ersparen, aufgrund unerwarteter Testergebnisse weitere physikalische Prototypen bauen zu müssen, und so den Entwurfsprozess durch die Bereitstellung robusterer Ausgangsdaten optimieren.

Ein weit verbreiteter Irrtum besagt, dass sich die UQ ausschließlich auf Materialien konzentriert, da bereits geringfügige Änderungen der Materialeigenschaften die Ergebnisse elektromagnetischer Simulationen beeinflussen können (Materialunsicherheit). Es gibt jedoch noch andere Arten von Unsicherheiten, die sich auf elektromagnetische Simulationen auswirken können. Eine davon ist die geometrische Unsicherheit, bei der Form und Größe des Simulationsobjekts zu Abweichungen in den Ergebnissen der elektromagnetischen Simulation führen können. Eine weitere ist die Unsicherheit auf Bauteilebene, wie sie in den jeweiligen Datenblättern für verschiedene Schaltungsbauteile (wie Widerstände, Kondensatoren und Induktivitäten usw.) angegeben ist. Diese Unsicherheiten werden gemeinhin als Fertigungstoleranzen bezeichnet. Die Entscheidung, auf welche Unsicherheit der Fokus gelegt werden soll, hängt ganz von der jeweiligen Anwendung ab.

Ein Beispiel für Materialunsicherheit ist in Abbildung 1 dargestellt, die ein SAM-Kopfphantom zeigt, das von einer 2-GHz-Dipolantenne angeregt wird, die mithilfe von XFdtd®, der 3D-EM-Simulationssoftware von Remcom, neben dem Ohr positioniert wurde. Abbildung 1 zeigt drei deterministische EM-Simulationen am SAM-Kopfphantom, bei denen die Veränderung der Dielektrizitätskonstanten und Leitfähigkeiten zu beobachtbaren Verschiebungen in der Verteilung des internen elektrischen Feldes führt. Abbildung 2 zeigt ein elektrisches XFdtd-Gitter des SAM-Kopfes mit der daneben positionierten Antenne.

Abb. 1: elektrisches Feldverteilung aus einer deterministischen EM-Simulation an einem 3D-SAM-Kopfphantom (Scanning Acoustic Microscopy), das einer 2-GHz-Dipolantenne ausgesetzt ist und unterschiedliche Materialeigenschaften aufweist: (a) Referenzwerte für gewebeäquivalente Eigenschaften (innerer Kopf^εr = 44,3, innerer Kopf σ = 1,58 (S/m), äußerer Kopf^εr = 2,89); (b) modifizierte gewebeäquivalente Eigenschaften (innerer Kopf^εr = 39,7, innerer Kopf σ = 1,43 (S/m), äußerer Kopf^εr = 2,64); und (c) weitere modifizierte gewebeäquivalente Eigenschaften (innerer Kopf^εr = 36,1, innerer Kopf σ = 1,30 (S/m), äußerer Kopf^εr = 2,43). Bei allen Simulationen werden eine identische Eingangsleistung und eine identische Antennenpositionierung verwendet.

Abb. 2: Ein 2D-Gitter-ZY-Schnitt des 3D-SAM-Kopfphantoms, der die beiden Schichten des 3D-SAM-Kopfphantoms zeigt. Die äußere Schicht besteht aus einem verlustfreien Dielektrikum, die innere Schicht aus einem verlustbehafteten Dielektrikum.

Verfügbare UQ-Verfahren

Es wurden verschiedene Ansätze entwickelt, um Unsicherheiten in die EM-Simulation einzubeziehen. Grundsätzlich lassen sich die UQ-Verfahren in zwei Kategorien einteilen: intrusive und nicht-intrusive Methoden. Nicht-intrusive Methoden lassen die ursprüngliche Berechnungsformulierung völlig unberührt und führen sie mehrfach mit unterschiedlichen, zufällig ausgewählten Eingabeparametern durch, um die Ausgabe abzubilden. Beispielsweise gilt die Monte-Carlo-Analyse, die Eingaben mit festen Werten in Wahrscheinlichkeitsverteilungen (z. B. Normal-, Gleichverteilung, Log-Normalverteilung) umwandelt, als nicht-intrusive Methode. Alle Varianten werden einzeln durchlaufen, und anschließend werden die Ergebnisse zusammengefasst. Da die Anzahl der Monte-Carlo-Simulationen von einigen wenigen bis zu Tausenden reichen kann, steigt die Ausführungszeit mit der Anzahl der Simulationen. Für größere Problemstellungen – darunter die Untersuchung der Auswirkungen eines Signals auf den menschlichen Körper, die Simulation einer komplexen Schaltung oder die Untersuchung einer Schaltung, die regelmäßigen Veränderungen unterliegt – ist dies in der Regel keine praktikable Lösung.

Spezialisiertere intrusive Methoden modifizieren die zugrunde liegenden Berechnungsalgorithmen, um Unsicherheitsformulierungen direkt in die Leitgleichungen einzubetten. Diese sind darauf ausgelegt, ähnliche statistische Erkenntnisse effizienter zu liefern. Dazu gehören die Polynomial-Chaos-Erweiterung (PCE) und die stochastische Finite-Differenzen-Zeitbereichsmethode (S-FDTD). PCE approximiert ein komplexes Berechnungsmodell als eine Reihe orthogonaler Polynome und wandelt damit stochastische (zufällige) Probleme effektiv in deterministische um. S-FDTD hingegen berechnet das Verhalten elektromagnetischer Wellen bei der Wechselwirkung mit Materialien, die zufällige oder ungewisse Eigenschaften aufweisen, wie beispielsweise schwankende Leitfähigkeit oder Permittivität, oder mit Materialien, deren Geometrie variiert. Dabei werden Mittelwert und Varianz des elektromagnetischen Feldes in einer einzigen Simulation berechnet.

Sowohl Intrusive PCE als auch S-FDTD sind Einzelsimulationen, während Monte-Carlo auf mehrere Simulationen zurückgreift. PCE und S-FDTD erfordern jedoch einen zusätzlichen Rechenaufwand, was ihre Zugänglichkeit für die meisten Ingenieure bisher eingeschränkt hat. Derzeit erfordern diese Methoden spezielle statistische Werkzeuge oder einen Forschungsaufwand, um sie in den täglichen Arbeitsablauf von Ingenieuren zu integrieren. Die Forscher machen jedoch rasante Fortschritte dabei, jede Methode so effizient und praktikabel zu gestalten, dass sie sich nahtlos in routinemäßige Arbeitsabläufe integrieren lässt.

Anwendungsbeispiele aus der Praxis

UQ beginnt in der Regel damit, die verfügbaren Konstruktionsdaten zu erfassen und eine Monte-Carlo-basierte Simulation durchzuführen, wobei die Materialeigenschaft mit der geringsten Zuverlässigkeit zufällig variiert und der daraus resultierende Mittelwert sowie die Standardabweichung untersucht werden. In der Praxis sind für zuverlässige statistische Ergebnisse möglicherweise Hunderte oder oft sogar Tausende von Simulationsläufen erforderlich, doch bei einem kleinen Modell lässt sich dies noch über Nacht bewältigen.

Die Durchführung überschaubarer Monte-Carlo-Simulationen ist für Ingenieure eine effektive Möglichkeit, aus erster Hand Erfahrungen mit der Interpretation und dem Verständnis einer Verteilung von Ergebnissen zu sammeln, anstatt sich nur auf eine einzelne Zahl zu verlassen. Da sich Monte-Carlo-Simulationen jedoch nicht für groß angelegte Probleme eignen, sollten sie nicht automatisch als erster Schritt gewählt werden, sondern vielmehr als geeigneter Ausgangspunkt dienen, wenn ein Szenario ihren Einsatz rechtfertigt.

Ein Beispiel aus der Praxis für diesen Ansatz ist die Analyse eines Materials, das zur Simulation von Gewebeeigenschaften im menschlichen Körper verwendet wird, die je nach Gewebetyp und Person variieren. Die Ergebnisse einer solchen Analyse könnten zur Festlegung von Toleranzen herangezogen werden, die angeben, wie viel Leistung von der Sendeantenne eines Mobiltelefons oder einer Bluetooth-fähigen Uhr sicher vom menschlichen Gewebe absorbiert werden kann – eine Kennzahl, die als spezifische Absorptionsrate (SAR) bezeichnet wird. Wenn diese Rate variiert, gilt der festgelegte Standard für die Signalabstrahlung möglicherweise nicht in allen Szenarien, und diese Variabilität muss bei der Gerätekonstruktion berücksichtigt werden.

Durch Anwendung der Materialunsicherheit auf die in Abbildung 1 dargestellte Simulation lässt sich die SAR-Unsicherheit quantifizieren. Da nicht bekannt ist, in welchem Umfang die Materialeigenschaften im Inneren des SAM-Kopfes variieren können, wird in diesem Beispiel die Unsicherheitskorrektur gemäß IEC/IEEE 62209-1528 angewendet. Demnach kann eine Abweichung von +/- 10 % bei den Materialeigenschaften des SAM-Kopfphantoms zu einer Änderung der durchschnittlichen 1-g-Werte (SAR) um bis zu 2 % führen.

Abb. 3: Ergebnisse für den durchschnittlichen SAR-Wert von 1 g. (Links) zeigt einen 2D-Schnitt des mittleren SAR-Werts aufgrund von Materialschwankungen. (Rechts) zeigt einen 2D-Schnitt der Standardabweichung des SAR-Werts aufgrund von Materialschwankungen. (Beachten Sie, dass die Farbskala unterschiedlich ist.)

Das Mittelwertbild (Abbildung 3 oben) weist einen maximalen Mittelwert von 0,0396 W/kg auf, und das Abweichungsbild weist einen maximalen Abweichungswert von 8,4e-4 W/kg auf. Dies entspricht einem durchschnittlichen 1-g-SAR-Wert von 0,0396 ± 8,4e-4 (W/kg). Dies lässt sich auch als eine Änderung des durchschnittlichen SAR-Werts pro Gramm um ca. 1,9 % ausdrücken. Dies kommt der in der Norm IEC/IEEE 62209-1528 beschriebenen Unsicherheitskorrektur sehr nahe.

UQ als Werkzeug für den täglichen Gebrauch

Bislang stützte sich die UQ auf akademische Programmiersprachen oder benutzerdefinierte Skripte, deren Einrichtung spezielle statistische Kenntnisse erfordert. Dieser Ansatz ist für eine wissenschaftliche Arbeit zwar ausreichend, bedeutet jedoch, dass den meisten praktizierenden Ingenieuren die Möglichkeit fehlt, die UQ anzuwenden, selbst wenn ihr Problem davon profitieren würde.

Die Monte-Carlo-Analyse lässt sich mit XFdtd durchführen, wodurch aus einer separaten Forschungsaufgabe ein normaler Schritt im bestehenden Arbeitsablauf der Ingenieure wird. In der Praxis können Ingenieure ihr Modell auf die gleiche Weise kalibrieren wie bisher, beginnend mit der Geometrie, den Materialien, den Quellen und den Randbedingungen; die Unsicherheitsquantifizierung (UQ) ist im Wesentlichen ein zusätzlicher Arbeitsschritt und keine separate Modellierungsumgebung. Ingenieure müssen kein neues Modellierungsparadigma erlernen; sie müssen lediglich anstelle des Nennwerts eine Beschreibung der Variation einer Eigenschaft hinzufügen und dem Arbeitsablauf folgen. Kurz gesagt: Die größte Veränderung ist mentaler, nicht technischer Natur: Die Anwender müssen Vertrauen darin entwickeln, ein Ergebnis aus Mittelwert und Abweichung zu interpretieren, anstatt sich auf eine einzelne Zahl zu verlassen.

Darüber hinaus arbeitet Remcom daran, in XFdtd fortschrittlichere Berechnungsmethoden zu implementieren, die sich für die Simulation und Lösung größerer, komplexerer Probleme eignen. Zukünftige Upgrades werden es Konstrukteuren ermöglichen, verschiedene UQ-Ansätze zu nutzen und dabei denjenigen auszuwählen, der für die Größe und Art ihres Problems am besten geeignet ist. Die Unsicherheit der Materialeigenschaften bildet den Ausgangspunkt dieser Bemühungen, es ist jedoch auch geplant, die Unsicherheit geometrischer und schaltungstechnischer Komponenten zu berücksichtigen. Darüber hinaus unterstützt XFdtd die XStream®-GPU-Beschleunigung für ultraschnelle FDTD-Berechnungen. Durch den Einsatz von GPUs der neuesten Generation ermöglicht XStream die Durchführung von XFdtd-Berechnungen innerhalb von Minuten, während diese auf einer CPU allein Stunden oder sogar Tage dauern würden. Fortgeschrittene Berechnungsmethoden für die Unsicherheitsquantifizierung (UQ) werden nahtlos in die aktuelle GPU-Ausführung integriert.

Schlussfolgerung

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Ingenieure Software benötigen, um die Gewissheit zu erlangen, dass ihre Konstruktionen den realen Einsatzbedingungen standhalten. Die Erweiterung der Simulationsmöglichkeiten ermöglicht schnellere Iterationen, eine geringere Abhängigkeit von kostspieligen physischen Prototypen und sauberere Erstentwürfe, die in die Integration einfließen – und Remcom ist bei der Entwicklung dieser Fähigkeiten führend. 

Über die Autoren

Apoorva Pedgaonkar ist Ingenieurin für elektromagnetische Forschung bei Remcom und arbeitet als Teil des XFdtd-Forschungsteams. Sie hat an der University of Utah im Fach Elektrotechnik (Computational Electromagnetics) promoviert, wobei sich ihre Forschung auf die Unsicherheitsanalyse in der FDTD-Methode sowie auf die FDTD-Modellierung der Strahlung von Hochspannungsleitungen durch die magnetisierte Ionosphäre konzentrierte. Ihre Branchenerfahrung erstreckt sich über mehrere Bereiche, darunter Unsicherheitsquantifizierung, Signal- und Stromintegrität sowie Systemtechnik für die MRT-Technologie.

Gregory Moss ist XFdtd-Forschungsleiter bei Remcom und verfügt über mehr als 20 Jahre Erfahrung in der Branche der computergestützten Elektromagnetik (CEM). Er verfügt über ein umfassendes Verständnis der Vergangenheit und Gegenwart des Vollwellen-CEM-Marktes, einschließlich der Stärken und Schwächen aktueller kommerzieller und Open-Source-Softwarepakete, die unter anderem auf der Finite-Differenzen-Zeitbereichsmethode (FDTD), der Finite-Integrations-Technik (FIT), der diskontinuierlichen Galerkin-Zeitbereichsmethode (DGTD), der Finite-Elemente-Methode (FEM) und der Momentenmethode (MoM) basieren. Zudem verfügt er über umfangreiche Erfahrung in der Entwicklung von Berechnungssolvern für Schaltungs-, elektrostatische sowie kinetische Partikel- und Plasmasimulationen.

Über Remcom

Seit mehr als 30 Jahren bietet Remcom Software für elektromagnetische Simulationen und die Ausbreitung von Funkwellen für Unternehmen, Behörden und Forschungseinrichtungen an. Unsere innovative Software und unser technisches Know-how helfen Entwicklungsteams dabei, die Entwicklungszeit zu verkürzen, die Produktleistung zu verbessern und komplexe elektromagnetische Herausforderungen in verschiedenen Anwendungsbereichen zu bewältigen, darunter Antennendesign, drahtlose Kommunikation, Kfz-Radar, Luft- und Raumfahrt sowie Verteidigung. Flexible Lizenzoptionen, ein reaktionsschneller technischer Support und maßgeschneiderte Lösungen ermöglichen es Unternehmen jeder Größe, ihre Produktentwicklung zuverlässig zu beschleunigen.

Ressourcen

• Elektromagnetische Unsicherheitsanalyse von 3D-Biophantomen | IEEE-Konferenzbeitrag | IEEE Xplore.
• Eine stochastische FDTD-Formulierung für gestreute Felder unter Verwendung einer hocheffizienten diskreten FDTD-Ebenwellenquelle für Umgebungen mit schwacher Streuung | IEEE-Zeitschriften und -Magazine | IEEE Xplore.
• S. M. Smith und C. Furse, „Stochastic FDTD for Analysis of Statistical Variation in Electromagnetic Fields“, in: IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Bd. 60, Nr. 7, S. 3343–3350, Juli 2012, doi: 10.1109/TAP.2012.2196962.
• K. Masumnia-Bisheh, K. Forooraghi, M. Ghaffari-Miab und C. M. Furse, „Geometrisch-stochastische FDTD-Methode zur Quantifizierung der Unsicherheit von EM-Feldern und SAR in biologischen Geweben“, in: IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Band 67, Nr. 12, S. 7466–7475, Dez. 2019, doi: 10.1109/TAP.2019.2930171.
• Analyse der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in einem Plasma mit variabler Magnetisierung mittels Polynom-Chaos-Entwicklung.