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FDTD-Verfahren

Warum FDTD Simulationssoftware verwenden?

Während viele elektromagnetische Simulationstechniken im Frequenzbereich angewendet werden, löst FDTD die Maxwell-Gleichungen im Zeitbereich. Das bedeutet, dass die Berechnung der elektromagnetischen Feldwerte in diskreten Zeitschritten voranschreitet. Ein Vorteil des Zeitbereichs-Ansatzes ist, dass er Breitbandausgaben aus einer einzigen Programmausführung liefert; der Hauptgrund für die Verwendung des FDTD-Ansatzes ist jedoch die ausgezeichnete Skalierungsleistung der Methode bei zunehmender Problemgröße. Mit zunehmender Anzahl von Unbekannten übertrifft der FDTD-Ansatz schnell andere Methoden in der Effizienz. FDTD wurde auch als das bevorzugte Verfahren zur Durchführung elektromagnetischer Simulationen für biologische Effekte von drahtlosen Geräten identifiziert[1]. Die FDTD-Methode hat sich als der effizienteste Ansatz erwiesen und liefert genaue Ergebnisse der Feldpenetration in biologische Gewebe.

 

Handy-Modell mit freundlicher Genehmigung von Motorola Mobility, LLC/Lenovo.

 

Eine kurze Zusammenfassung - FDTD Simulationsgrundlagen

Im FDTD-Ansatz werden sowohl Raum als auch Zeit in diskrete Segmente unterteilt. Der Raum wird in kastenförmige Zellen unterteilt, die im Vergleich zur Wellenlänge klein sind. Die elektrischen Felder befinden sich an den Kanten der Box und die Magnetfelder an den Flächen, wie in Abbildung 1 dargestellt. Diese Ausrichtung der Felder wird als Yee-Zelle[2, S. 37] bezeichnet und ist die Grundlage für FDTD. Die Zeit wird in kleinen Schritten quantisiert, wobei jeder Schritt die Zeit darstellt, die das Feld benötigt, um von einer Zelle zur nächsten zu gelangen. Durch die räumliche Verschiebung der Magnetfelder von den elektrischen Feldern werden auch die Werte des Feldes in Bezug auf die Zeit verschoben. Die elektrischen und magnetischen Felder werden nach einem Leapfrog-Schema aktualisiert, bei dem zuerst die elektrischen Felder, dann die magnetischen, bei jedem Schritt in der Zeit berechnet werden.

Figure 1:  The Yee cell with labeled field components

Abbildung 1: Die Yee-Zelle mit markierten Feldkomponenten

Wenn viele FDTD-Zellen zu einem dreidimensionalen Volumen kombiniert werden, entsteht ein FDTD-Gitter oder -Netz. Jede FDTD-Zelle überlappt Kanten und Flächen mit ihren Nachbarn, so dass jede Zelle nach der Konvention drei elektrische Felder hat, die an einem gemeinsamen Knoten beginnen, der ihr zugeordnet ist. Die elektrischen Felder an den anderen neun Kanten der FDTD-Zelle gehören zu anderen, benachbarten Zellen. Jede Zelle hat auch drei Magnetfelder, die auf den Flächen der Zelle entstehen, die an den gemeinsamen Knoten der elektrischen Felder angrenzen, wie in Figur 1 dargestellt.

Innerhalb des Netzes können Materialien wie Leiter oder Dielektrika hinzugefügt werden, indem die Gleichungen zur Berechnung der Felder an bestimmten Stellen geändert werden. Um beispielsweise ein perfekt leitfähiges Drahtsegment an eine Zellenkante anzuhängen, kann die Gleichung zur Berechnung des elektrischen Feldes durch einfaches Setzen des Feldes auf Null ersetzt werden, da das elektrische Feld in einem perfekten Leiter identisch Null ist. Durch die Verbindung zahlreicher, als perfekt leitfähiges Material definierter End-to-End-Zellkanten kann ein Draht gebildet werden. Die Einführung anderer Materialien oder anderer Konfigurationen wird auf ähnliche Weise behandelt und kann je nach den Eigenschaften des Materials entweder auf das elektrische oder das magnetische Feld angewendet werden. Durch die Zuordnung vieler Zellkanten zu Materialien kann innerhalb des FDTD-Gitters eine geometrische Struktur gebildet werden, wie beispielsweise die in Figur 2 dargestellte dielektrische Kugel. Jedes kleine Kästchen in der Abbildung repräsentiert eine FDTD-Zelle.

Figure 2:  A dielectric sphere as meshed in an FDTD grid. The individual cell edges (electric field locations) are displayed as overlapping grid lines.

Abbildung 2: Eine dielektrische Kugel, wie sie in einem FDTD-Gitter vernetzt ist. Die einzelnen Zellkanten (elektrische Feldpositionen) werden als überlappende Gitterlinien dargestellt.

 

Die Zellgröße, die Abmessungen der kleinen Box, ist die wichtigste Einschränkung in jeder FDTD-Simulation, da sie nicht nur die Schrittweite in der Zeit, sondern auch die obere Frequenzgrenze für die Berechnung bestimmt. Eine allgemeine Faustregel legt die minimale Auflösung und damit die obere Frequenzgrenze bei zehn Zellen pro Wellenlänge fest. In der Praxis ist die Zellengröße oft kleiner als diese, um Dimensionen und Merkmale der zu simulierenden Struktur wie die Dicke eines Substrats oder die Länge eines Drahtes aufzulösen.

Eine Anregung kann auf vielfältige Weise auf eine FDTD-Simulation angewendet werden. Ein Verfahren emuliert das Anregen einer Geometrie an diskreten Stellen, indem es eine abgetastete Wellenform auf die Feldaktualisierungsgleichung an einer oder mehreren Stellen anwendet. Bei jedem Schritt in der Zeit wird der Wert der Wellenform über diesen Zeitraum in den Feldwert addiert. Die umgebenden Felder verbreiten die eingeleitete Wellenform im gesamten FDTD-Gitter entsprechend den Eigenschaften jeder Zelle. Eine Berechnung muss fortgesetzt werden, bis ein Konvergenzzustand erreicht ist. Dies bedeutet typischerweise, dass alle Feldwerte im Wesentlichen auf Null abgefallen sind (mindestens 60 dB vom Peak entfernt) oder ein stationärer Zustand erreicht wurde.

Verfeinerungen der Basic Yee Cell

Die quadratische Yee-Zelle in Figur 1 kann im Allgemeinen rechteckig sein. Die Abstände zwischen den Zellen in x-, y- und z-Richtung können im gesamten Problemraum variieren. Dadurch können mehr Zellkanten in Bereichen mit starken Feldern platziert werden, z.B. um kleine Merkmale aus hochleitfähigem Material. Innerhalb einer Zelle können die Standard-Update-Gleichungen von FDTD auf viele Arten verfeinert werden, z.B. um Drähte zu ermöglichen, die dünner als eine Zellgröße sind. Eine weitere Verfeinerung kann Objekte ermöglichen, deren Oberfläche die Zelle in beliebigen Winkeln in Bezug auf die Hauptachsen schneidet. Diese "konformen" Zellen können weiter verfeinert werden, um die Krümmung der Objektoberfläche innerhalb des Zellvolumens zu berücksichtigen.

Abbildung 3 zeigt die Geometrie eines Teils eines Mobiltelefons. Aus Gründen der Übersichtlichkeit wurde die Sichtbarkeit vieler Teile, einschließlich des äußeren Gehäuses, abgeschaltet, um den Bereich in der Nähe der Antenne anzuzeigen. Ein kleiner Teil des FDTD-Netzes des Telefons ist in Abbildung 4a mit einfachen rechteckigen Zellen dargestellt. In Abbildung 4b ist der gleiche Teil des Telefonnetzes dargestellt, diesmal mit einer Art konformer Behandlung für Zellen, die Teile der Oberfläche eines Objekts enthalten. Abbildung 5 zeigt eine größere Ansicht der Oberflächen des konformen Netzes.

Klicken Sie auf die Bilder, um Details zu sehen.....

Abbildung 3: Antennenabschnitt des Mobiltelefons.

 

Abbildung 4a: Gitteransicht der Antennenecke mit einfachem rechteckigem Gitter.

Abbildung 4b: Gitteransicht der Antennenecke mit konformem Gitter.

 

Abbildung 5: Konformes Netz der Mobilfunkantenne.

 

Materialien

Die FDTD-Simulationssoftware ist in der Lage, eine Vielzahl von elektrischen und magnetischen Materialien zu simulieren. Das grundlegendste Material ist natürlich der Freiraum. Alle FDTD-Zellen werden als Freiraum initialisiert und die Felder an allen Zellkanten werden mit Hilfe der Freiraumgleichungen aktualisiert, es sei denn, es wird ein anderes Material hinzugefügt, um den Freiraum zu ersetzen.

Perfekt leitende elektrische und magnetische Materialien werden simuliert, indem das elektrische oder magnetische Feld für alle Zellkanten, die sich in diesen Materialien befinden, auf Null gesetzt wird. Aufgrund der Einfachheit der Berechnung für diese Materialien ist es besser, wenn möglich, einen perfekten Leiter als einen echten Leiter zu verwenden. Leiter wie Kupfer können in FDTD simuliert werden, aber da die Gleichungen zur Berechnung der Felder im Kupfermaterial komplizierter sind als bei einem perfekten Leiter, dauert die Berechnung länger. Natürlich wird in Fällen, in denen nur ein kleiner Prozentsatz der FDTD-Zellen als Leiter definiert ist, der Unterschied in der Ausführungszeit kaum spürbar sein.

Frequenzunabhängige dielektrische und magnetische Materialien werden durch ihre konstitutiven Parameter der relativen Permittivität und Leitfähigkeit für das elektrische Material oder der relativen Permeabilität und magnetischen Leitfähigkeit für das magnetische Material definiert. In vielen Fällen sind diese Materialien auch bei der Durchführung einer Breitbandberechnung sinnvoll, da die Parameter über den Frequenzbereich nicht wesentlich variieren.

In einigen Fällen ist ein frequenzunabhängiges Material nicht geeignet und stattdessen sollte ein frequenzabhängiges oder dispersives Material ersetzt werden. Einige gängige Beispiele für frequenzabhängige Materialien sind Materialien mit hohem Wassergehalt wie menschliches Gewebe, Metalle bei Anregung mit optischen Frequenzen und Dielektrika über große Bandbreiten. XFdtd beinhaltet die Möglichkeit, elektrische und magnetische Debye und Drude Materialien wie Plasmen, Lorentz Materialien und anisotrope magnetische Ferrite sowie frequenzunabhängige anisotrope Dielektrika zu simulieren. Diese Materialien können Permtivitäten oder Permeabilitäten aufweisen, die bei einigen Frequenzen negativ sind, so dass sie für die makroskopische Simulation von Metamaterialien geeignet sind. FDTD ist auch besonders effektiv bei der Simulation nichtlinearer Materialien, von denen einige in XFdtd enthalten sind.

Nahzone versus Fernzone

Für jede beliebige Berechnung wird die Geometrie der zu simulierenden Struktur definiert, indem die Zellkanten an bestimmten Stellen auf bestimmte Materialien festgelegt werden. Der gesamte FDTD-Geometrieraum, allgemein als Gitter oder Netz bezeichnet, besteht aus einem dreidimensionalen Block dieser Zellen. Dieses dreidimensionale Volumen wird als Nahbereich in FDTD in Bezug auf die Datenspeicherung betrachtet. Der Feldwert an einer beliebigen Kante des FDTD-Gitters kann als Funktion der Zeit beobachtet werden, indem ein "near-zone"-Punkt in XFdtd gespeichert wird. Andere Datentypen wie stationäre Feldgrößen, spezifische Absorptionsraten, S-Parameter oder Impedanz können ebenfalls für geeignete Punkte, Oberflächen und Volumen innerhalb des Gitters gespeichert werden.

Es ist möglich, ein FDTD-Gitter zu erstellen, das groß genug ist, um Punkte im Fernfeld einer Geometrie zu erfassen. Im Allgemeinen wird dies in Bezug auf Computerspeicher und Rechenzeit extrem kostspielig sein, da die Anzahl der Unbekannten (Zellen) höchstwahrscheinlich groß sein wird. Beachten Sie, dass jede FDTD-Zelle eine maximale Größe von einem Zehntel einer Wellenlänge hat, so dass das Verschieben vieler Wellenlängen von einer Struktur weg eine große Anzahl von Zellen erfordert. In den meisten Fällen ist dies keine geeignete Methode zur Überwachung der Fernfeld-Ergebnisse.

Eine praktischere Methode zur Transformation von Feldwerten in die Fernzone und zur Berechnung von Strahlungsverstärkungs- oder Radarstreuungsmustern ist die Verwendung einer Transformation zur Umwandlung der Nahzonenwerte im FDTD-Gitter in einen Fernfeldwert an einem vom Gitter entfernten Ort. Dies geschieht, indem die Geometrie in einem Kasten eingeschlossen wird und die Felder auf den Außenflächen dieses Kastens für allgemeine Probleme in der Fernzone gespeichert werden. Die Flächen der Box befinden sich fünf FDTD-Zellen von jeder Außenkante des FDTD-Gitters. Damit die Transformation gültig ist, müssen alle Teile der FDTD-Geometrie in der Box enthalten sein.

Das in XFdtd verwendete Polarkoordinatensystem ist definiert mit dem azimutalen (phi) Winkel, der von der x-Achse bezogen wird, und dem Elevationswinkel (theta), der von der z-Achse bezogen wird, wie in Figur 6 dargestellt. Dieses Koordinatensystem wird zum Lokalisieren von Positionen in der Fernzone und zum Definieren der Wellenrichtung der einfallenden Ebene verwendet.

Abbildung 6: Polarkoordinatensystem für die Wellenrichtungen der Fernzone und der einfallenden Ebene.

Breitband- und stationäre Berechnungen

Im Allgemeinen wird mit FDTD eine Breitbandberechnung durchgeführt, da eine einzige Berechnung Ergebnisse für einen breiten Frequenzbereich liefern kann, ohne zusätzliche Computerressourcen zu benötigen. Wenn Daten mit bestimmten Frequenzen benötigt werden, können stationäre Daten aus der Breitbandberechnung mittels einer Fourier-Transformation berechnet werden.

Häufige Beispiele für Daten vs. Frequenz sind Antennenmuster bei bestimmten Frequenzen, biologische Anwendungen wie die spezifische Absorptionsrate (SAR), elektrische und magnetische Feldgrößen, magnetische Flussgrößen, Leitungsströme und Informationen vom Typ "Schaltung" wie S-Parameter, Gruppenlaufzeit, Impedanz, Leistung, Effizienz usw.

Sinusförmige Anregung kann in bestimmten gelegentlichen Fällen erwünscht sein, z.B. wenn eine starke Resonanz nahe, aber außerhalb des interessierenden Frequenzbereichs vermieden wird.

Äußere Strahlungsgrenzen

Ein dreidimensionales Gitter von Zellen bildet die FDTD-Geometrie und die an jeder Zellposition aktualisierten Felder sind abhängig von den benachbarten Feldern. Aufgrund von Speicherbegrenzungen muss das Gitter jedoch irgendwann enden, so dass die Felder an den Außenkanten des Gitters nicht korrekt aktualisiert werden können. Um diese Situation zu korrigieren, werden an den Kanten des FDTD-Gitters äußere Strahlungsrandbedingungen angewendet.

Die äußere Strahlungsgrenze ist ein Verfahren zum Absorbieren von Feldern, die sich vom FDTD-Gitter zur Grenze ausbreiten. Durch die Aufnahme dieser Felder scheint sich das Gitter für immer zu erstrecken. Die Leistung der äußeren Begrenzungen ist ein wichtiger Faktor für die Genauigkeit einer FDTD-Berechnung und es sollte darauf geachtet werden, sie korrekt zu verwenden.

In einigen Fällen wird eine reflektierende statt einer absorbierenden Grenze bevorzugt. Eine perfekt leitende Grenze (elektrisch oder magnetisch) kann verwendet werden, um die Felder in einer FDTD-Berechnung abzubilden, um die Vorteile von Problemsymmetrien zu nutzen. Eine periodische Randbedingung ist nützlich für die Simulation einer einzelnen Einheitszelle mit einer großen symmetrischen Geometrie.

Computer-Ressourcen

FDTD ist eine rechenintensive Methode und die meisten vernünftigen Berechnungen erfordern einen schnellen Computer und mindestens ein paar Gigabyte Computerspeicher. Für die meisten Anwendungen ist es ziemlich einfach, die Menge an Computerspeicher zu schätzen, die für eine Berechnung benötigt wird. Der wichtigste Faktor für den Speicherverbrauch und zum großen Teil für die Laufzeit ist die Anzahl der FDTD-Zellen, die zur Darstellung der zu testenden Struktur verwendet werden. Jeder FDTD-Zelle sind sechs Feldwerte zugeordnet: drei elektrische Felder und drei Magnetfelder. Zusätzlich ist jeder Zelle sechs Flaggen zugeordnet, um den Materialtyp anzuzeigen, der an jedem der sechs Feldpositionen vorhanden ist. Die Feldwerte sind reelle Zahlen von jeweils vier Bytes Länge, während die Flags jeweils ein Byte lang sein können. Dies ergibt einen Speicherverbrauch pro FDTD-Zelle von 24 Byte für Felder und 6 Byte für Flags von insgesamt 30 Byte. Um den gesamten Speicherbedarf in Bytes zu schätzen, multiplizieren Sie einfach die Anzahl der FDTD-Zellen mit den 30 Bytes pro Zellwert. Es gibt einige Gemeinkosten in der Kalkulation, aber sie sind im Allgemeinen recht gering. Eine bemerkenswerte Ausnahme bilden die breitbandigen Fernzonenwinkel, die sechs eindimensionale Realwert-Arrays pro Richtung zuweisen.

Die Schätzung der Ausführungszeit einer FDTD-Berechnung ist komplizierter, da die Leistung der Computerprozessoren variiert. Eine Methode zum Schätzen ist das Berechnen der Gesamtzahl der auszuführenden Operationen. Es gibt etwa 80 Operationen pro Zelle, pro Zeitschritt während der FDTD-Berechnungen. Die Gesamtzahl der Operationen ergibt sich aus dem Produkt aus der Anzahl der Zellen, der Anzahl der Zeitschritte und dem Faktor von 80 Operationen pro Zelle und Zeitschritt. Wenn ein Wert der Gleitkommaleistung des Prozessors bekannt ist, kann ein Wert für die Ausführungszeit berechnet werden. Im Allgemeinen ist es jedoch eine bessere Schätzmethode, die Ausführungszeit eines einfachen Problems auf einem bestimmten Computer zu bestimmen und dann die Zeit um das Verhältnis der Anzahl der Operationen zwischen der gewünschten und der einfachen Berechnung zu skalieren.

Es gibt viele Möglichkeiten, die Rechengeschwindigkeit von FDTD zu erhöhen, einige erfordern jedoch einen erheblichen Programmieraufwand. Einige der effektivsten sind die parallele Verwendung mehrerer CPUs eines Computers, die parallele Verwendung mehrerer Computer, die Optimierung von Berechnungsschleifen für den Cache oder die Nutzung paralleler Methoden auf CPUs wie SSE und AVX. Die FDTD-Software eignet sich besonders gut für die Berechnung auf GPU-Prozessoren, da die Vorstellung, dass viele Zellen eine relativ geringe Anzahl von Aktualisierungsalgorithmen parallel ausführen, gut zu den für die Aktualisierung von Videoanzeigen entwickelten Verfahren passt.

Referenzen

  1. C95.3.2002, "Empfohlene Praxis für Messungen und Berechnungen in Bezug auf die Exposition des Menschen gegenüber hochfrequenten elektromagnetischen Feldern, 100kHz bis 300GHz", IEEE Standards and Coordinating Committee 28 on Non-Ionizing Radiation Hazards, April 2002.
  2. K. S. Kunz und R. J. Luebbers, "The Finite Difference Time Domain Method for Electromagnetics", Boca Raton, FL: CRC Press, 1993.

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