Das FDTD Methode für die elektromagnetische Simulation

Eine kurze Zusammenfassung - Grundlagen der FDTD-Simulation

Beim FDTD-Ansatz werden sowohl Raum als auch Zeit in diskrete Segmente unterteilt. Der Raum wird in kastenförmige Zellen unterteilt, die im Vergleich zur Wellenlänge klein sind. Die elektrischen Felder befinden sich an den Kanten des Kastens und die magnetischen Felder an den Flächen, wie in Abbildung 1 dargestellt. Diese Anordnung der Felder wird als Yee-Zelle [2, S. 37] bezeichnet und ist die Grundlage für FDTD. Die Zeit wird in kleine Schritte quantisiert, wobei jeder Schritt die Zeit darstellt, die das Feld benötigt, um von einer Zelle zur nächsten zu gelangen. Da die magnetischen Felder räumlich von den elektrischen Feldern versetzt sind, sind auch die Werte des Feldes in Bezug auf die Zeit versetzt. Die elektrischen und magnetischen Felder werden nach einem Sprungschema aktualisiert, bei dem zunächst die elektrischen und dann die magnetischen Felder in jedem Zeitschritt berechnet werden. 

Wenn viele FDTD-Zellen miteinander kombiniert werden, um ein dreidimensionales Volumen zu bilden, ist das Ergebnis ein FDTD-Gitter oder -Netz. Jede FDTD-Zelle überlappt Kanten und Flächen mit ihren Nachbarn, so dass jede Zelle vereinbarungsgemäß drei elektrische Felder hat, die an einem ihr zugeordneten gemeinsamen Knoten beginnen. Die elektrischen Felder an den anderen neun Kanten der FDTD-Zelle gehören zu anderen, benachbarten Zellen. Jede Zelle hat auch drei Magnetfelder, die auf den Flächen der Zelle neben dem gemeinsamen Knoten der elektrischen Felder entstehen, wie in Abbildung 1 dargestellt.

Innerhalb des Netzes können Materialien wie Leiter oder Dielektrika hinzugefügt werden, indem die Gleichungen zur Berechnung der Felder an bestimmten Stellen geändert werden. Um z. B. ein perfekt leitendes Drahtsegment zu einer Zellkante hinzuzufügen, kann die Gleichung zur Berechnung des elektrischen Feldes ersetzt werden, indem das Feld einfach auf Null gesetzt wird, da das elektrische Feld in einem perfekten Leiter identisch Null ist. Durch Verbinden zahlreicher Zellränder, die als perfekt leitendes Material definiert sind, kann ein Draht gebildet werden. Die Einführung anderer Materialien oder anderer Konfigurationen wird in ähnlicher Weise gehandhabt, und jedes kann je nach den Eigenschaften des Materials entweder auf das elektrische oder das magnetische Feld angewendet werden. Indem man viele Zellkanten mit Materialien verbindet, kann eine geometrische Struktur innerhalb des FDTD-Gitters gebildet werden, wie z. B. die in Abbildung 2 dargestellte dielektrische Kugel. Jedes kleine Kästchen in der Abbildung stellt eine FDTD-Zelle dar.

Abbildung 1: Die Yee-Zelle mit beschrifteten Feldkomponenten

Abbildung 2: Eine dielektrische Kugel, wie sie in einem traditionellen FDTD-Gitter mit Treppenstufen vermascht ist. Die einzelnen Zellkanten (Orte des elektrischen Feldes) sind als überlappende Gitterlinien dargestellt.

Fortschritte bei der Zelltreppenbildung

Traditionell gelten treppenförmige FDTD-Zellen als schwerfällig und ineffizient bei der Auflösung von gekrümmten Oberflächen oder stark variierenden Feldern. Fortschritte bei FDTD ermöglichen konforme Netze und die Korrektur von Singularitäten.

Die Yee-Würfelzelle in Abbildung 1 kann im Allgemeinen rechteckig sein. Die Abstände zwischen den Zellen in x-, y- und z-Richtung können im gesamten Problemraum variieren. Dadurch können mehr Zellränder in Regionen mit starken Feldern platziert werden, z. B. in der Nähe von kleinen Merkmalen aus stark leitendem Material. Innerhalb einer Zelle können die Standard-Aktualisierungsgleichungen von FDTD auf vielfältige Weise verfeinert werden, um beispielsweise Drähte zu berücksichtigen, die dünner sind als eine Zellengröße, oder um die starken Felder an den Kanten von Leitern wie Mikrostreifenleitungen zu berechnen. Eine weitere Verfeinerung kann Objekte berücksichtigen, deren Oberfläche die Zelle in beliebigen Winkeln zu den Hauptachsen schneidet. Diese "konformen" Zellen können weiter verfeinert werden, um die Krümmung der Objektoberfläche innerhalb des Volumens der Zelle zu berücksichtigen.

Abbildung 3 zeigt die Geometrie eines Teils eines Mobiltelefons. Zur Verdeutlichung wurde die Sichtbarkeit vieler Teile, einschließlich des äußeren Gehäuses, ausgeschaltet, um den Bereich in der Nähe der Antenne zu zeigen. Ein kleiner Teil des FDTD-Netzes des Telefons ist in Abbildung 4a unter Verwendung einfacher rechteckiger Zellen dargestellt. In Abbildung 4b ist derselbe Teil des Telefonnetzes dargestellt, diesmal unter Verwendung einer Art von konformer Behandlung für Zellen, die Teile der Oberfläche eines Objekts enthalten. Abbildung 5 zeigt eine größere Ansicht der Oberflächen des konformen Netzes.

Mit FDTD-Simulationssoftware kann eine Vielzahl von elektrischen und magnetischen Materialien simuliert werden. Das einfachste Material ist natürlich der freie Raum. Alle FDTD-Zellen werden als freier Raum initialisiert, und die Felder an allen Zellkanten werden anhand der Gleichungen für den freien Raum aktualisiert, es sei denn, es wird ein anderes Material hinzugefügt, das den freien Raum ersetzt.

Perfekt leitende elektrische und magnetische Materialien werden simuliert, indem das elektrische oder magnetische Feld für alle Zellränder innerhalb dieser Materialien auf Null gesetzt wird. Wegen der Einfachheit der Berechnung für diese Materialien ist es besser, wann immer es möglich ist, einen perfekten Leiter statt eines realen Leiters zu verwenden. Leiter wie Kupfer können in FDTD simuliert werden, aber da die Gleichungen zur Berechnung der Felder in Kupfermaterial komplizierter sind als die für einen perfekten Leiter, dauert die Berechnung länger. In Fällen, in denen nur ein kleiner Prozentsatz der FDTD-Zellen als Leiter definiert ist, ist der Unterschied in der Ausführungszeit natürlich kaum spürbar.

Frequenzunabhängige dielektrische und magnetische Materialien werden durch ihre konstitutiven Parameter der relativen Dielektrizitätskonstante und der Leitfähigkeit oder des Verlustfaktors für das elektrische Material bzw. der relativen Permeabilität und der magnetischen Leitfähigkeit für das magnetische Material definiert. In vielen Fällen sind diese Materialien selbst bei Breitbandberechnungen geeignet, da sich die Parameter über den Frequenzbereich nicht wesentlich ändern.

In einigen Fällen ist ein frequenzunabhängiges Material nicht geeignet, und stattdessen sollte ein frequenzabhängiges oder dispersives Material verwendet werden. Einige gängige Beispiele für frequenzabhängige Materialien sind Materialien mit hohem Wassergehalt wie menschliches Gewebe, Metalle, die bei optischen Frequenzen angeregt werden, und Dielektrika über große Bandbreiten. XFdtd bietet die Möglichkeit, elektrische und magnetische Debye- und Drude-Materialien wie Plasmen, Lorentz-Materialien und anisotrope magnetische Ferrite sowie frequenzunabhängige anisotrope Dielektrika zu simulieren. Diese Materialien können Permittivitäten oder Permeabilitäten haben, die bei einigen Frequenzen negativ sind, wodurch sie sich für die makroskopische Simulation von Metamaterialien eignen. FDTD ist auch besonders effektiv bei der Simulation nichtlinearer Materialien, von denen mehrere in XFdtd enthalten sind.